Basic lemmas about natural numbers

The primary purpose of the lemmas in this file is to assist with reasoning about sizes of objects, array indices and such.

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@[reducible, inline, deprecated Nat.and_forall_add_one]

abbrev Nat.and_forall_succ {p : Nat → Prop} : (p 0 ∧ ∀ (n : Nat), p (n + 1)) ↔ ∀ (n : Nat), p n

Equations

• @Nat.and_forall_succ = @Nat.and_forall_add_one

@[reducible, inline, deprecated Nat.or_exists_add_one]

abbrev Nat.or_exists_succ {p : Nat → Prop} : (p 0 ∨ ∃ (n : Nat), p (n + 1)) ↔ Exists p

Equations

• @Nat.or_exists_succ = @Nat.or_exists_add_one

@[simp]

theorem Nat.exists_ne_zero {P : Nat → Prop} : (∃ (n : Nat), ¬n = 0 ∧ P n) ↔ ∃ (n : Nat), P (n + 1)

@[simp]

theorem Nat.exists_eq_add_one {a : Nat} : (∃ (n : Nat), a = n + 1) ↔ 0 < a

@[simp]

theorem Nat.exists_add_one_eq {a : Nat} : (∃ (n : Nat), n + 1 = a) ↔ 0 < a

theorem Nat.forall_lt_succ_right' {n : Nat} {p : (m : Nat) → m < n + 1 → Prop} : (∀ (m : Nat) (h : m < n + 1), p m h) ↔ (∀ (m : Nat) (h : m < n), p m ⋯) ∧ p n ⋯

Dependent variant of forall_lt_succ_right.

theorem Nat.forall_lt_succ_right {n : Nat} {p : Nat → Prop} : (∀ (m : Nat), m < n + 1 → p m) ↔ (∀ (m : Nat), m < n → p m) ∧ p n

See forall_lt_succ_right' for a variant where p takes the bound as an argument.

theorem Nat.forall_lt_succ_left' {n : Nat} {p : (m : Nat) → m < n + 1 → Prop} : (∀ (m : Nat) (h : m < n + 1), p m h) ↔ p 0 ⋯ ∧ ∀ (m : Nat) (h : m < n), p (m + 1) ⋯

Dependent variant of forall_lt_succ_left.

theorem Nat.forall_lt_succ_left {n : Nat} {p : Nat → Prop} : (∀ (m : Nat), m < n + 1 → p m) ↔ p 0 ∧ ∀ (m : Nat), m < n → p (m + 1)

See forall_lt_succ_left' for a variant where p takes the bound as an argument.

theorem Nat.exists_lt_succ_right' {n : Nat} {p : (m : Nat) → m < n + 1 → Prop} : (∃ (m : Nat), ∃ (h : m < n + 1), p m h) ↔ (∃ (m : Nat), ∃ (h : m < n), p m ⋯) ∨ p n ⋯

Dependent variant of exists_lt_succ_right.

theorem Nat.exists_lt_succ_right {n : Nat} {p : Nat → Prop} : (∃ (m : Nat), m < n + 1 ∧ p m) ↔ (∃ (m : Nat), m < n ∧ p m) ∨ p n

See exists_lt_succ_right' for a variant where p takes the bound as an argument.

theorem Nat.exists_lt_succ_left' {n : Nat} {p : (m : Nat) → m < n + 1 → Prop} : (∃ (m : Nat), ∃ (h : m < n + 1), p m h) ↔ p 0 ⋯ ∨ ∃ (m : Nat), ∃ (h : m < n), p (m + 1) ⋯

Dependent variant of exists_lt_succ_left.

theorem Nat.exists_lt_succ_left {n : Nat} {p : Nat → Prop} : (∃ (m : Nat), m < n + 1 ∧ p m) ↔ p 0 ∨ ∃ (m : Nat), m < n ∧ p (m + 1)

See exists_lt_succ_left' for a variant where p takes the bound as an argument.

add

theorem Nat.add_add_add_comm (a : Nat) (b : Nat) (c : Nat) (d : Nat) : a + b + (c + d) = a + c + (b + d)

theorem Nat.one_add (n : Nat) : 1 + n = n.succ

theorem Nat.succ_eq_one_add (n : Nat) : n.succ = 1 + n

theorem Nat.succ_add_eq_add_succ (a : Nat) (b : Nat) : a.succ + b = a + b.succ

theorem Nat.eq_zero_of_add_eq_zero_right {n : Nat} {m : Nat} (h : n + m = 0) : n = 0

@[simp]

theorem Nat.add_eq_zero_iff {n : Nat} {m : Nat} : n + m = 0 ↔ n = 0 ∧ m = 0

@[simp]

theorem Nat.add_left_cancel_iff {m : Nat} {k : Nat} {n : Nat} : n + m = n + k ↔ m = k

@[simp]

theorem Nat.add_right_cancel_iff {m : Nat} {k : Nat} {n : Nat} : m + n = k + n ↔ m = k

@[simp]

theorem Nat.add_left_eq_self {a : Nat} {b : Nat} : a + b = b ↔ a = 0

@[simp]

theorem Nat.add_right_eq_self {a : Nat} {b : Nat} : a + b = a ↔ b = 0

@[simp]

theorem Nat.self_eq_add_right {a : Nat} {b : Nat} : a = a + b ↔ b = 0

@[simp]

theorem Nat.self_eq_add_left {a : Nat} {b : Nat} : a = b + a ↔ b = 0

@[simp]

theorem Nat.add_le_add_iff_left {m : Nat} {k : Nat} {n : Nat} : n + m ≤ n + k ↔ m ≤ k

theorem Nat.lt_of_add_lt_add_right {k : Nat} {m : Nat} {n : Nat} : k + n < m + n → k < m

theorem Nat.lt_of_add_lt_add_left {k : Nat} {m : Nat} {n : Nat} : n + k < n + m → k < m

@[simp]

theorem Nat.add_lt_add_iff_left {k : Nat} {n : Nat} {m : Nat} : k + n < k + m ↔ n < m

@[simp]

theorem Nat.add_lt_add_iff_right {k : Nat} {n : Nat} {m : Nat} : n + k < m + k ↔ n < m

theorem Nat.add_lt_add_of_le_of_lt {a : Nat} {b : Nat} {c : Nat} {d : Nat} (hle : a ≤ b) (hlt : c < d) : a + c < b + d

theorem Nat.add_lt_add_of_lt_of_le {a : Nat} {b : Nat} {c : Nat} {d : Nat} (hlt : a < b) (hle : c ≤ d) : a + c < b + d

theorem Nat.pos_of_lt_add_right {n : Nat} {k : Nat} (h : n < n + k) : 0 < k

theorem Nat.pos_of_lt_add_left {n : Nat} {k : Nat} : n < k + n → 0 < k

@[simp]

theorem Nat.lt_add_right_iff_pos {n : Nat} {k : Nat} : n < n + k ↔ 0 < k

@[simp]

theorem Nat.lt_add_left_iff_pos {n : Nat} {k : Nat} : n < k + n ↔ 0 < k

theorem Nat.add_pos_left {m : Nat} (h : 0 < m) (n : Nat) : 0 < m + n

theorem Nat.add_pos_right {n : Nat} (m : Nat) (h : 0 < n) : 0 < m + n

theorem Nat.add_self_ne_one (n : Nat) : n + n ≠ 1

sub

theorem Nat.sub_one (n : Nat) : n - 1 = n.pred

theorem Nat.one_sub (n : Nat) : 1 - n = if n = 0 then 1 else 0

theorem Nat.succ_sub_sub_succ (n : Nat) (m : Nat) (k : Nat) : n.succ - m - k.succ = n - m - k

theorem Nat.add_sub_sub_add_right (n : Nat) (m : Nat) (k : Nat) (l : Nat) : n + l - m - (k + l) = n - m - k

theorem Nat.sub_right_comm (m : Nat) (n : Nat) (k : Nat) : m - n - k = m - k - n

theorem Nat.add_sub_cancel_right (n : Nat) (m : Nat) : n + m - m = n

@[simp]

theorem Nat.add_sub_cancel' {n : Nat} {m : Nat} (h : m ≤ n) : m + (n - m) = n

theorem Nat.succ_sub_one (n : Nat) : n.succ - 1 = n

theorem Nat.one_add_sub_one (n : Nat) : 1 + n - 1 = n

theorem Nat.sub_sub_self {n : Nat} {m : Nat} (h : m ≤ n) : n - (n - m) = m

theorem Nat.sub_add_comm {n : Nat} {m : Nat} {k : Nat} (h : k ≤ n) : n + m - k = n - k + m

theorem Nat.sub_eq_zero_iff_le {n : Nat} {m : Nat} : n - m = 0 ↔ n ≤ m

theorem Nat.sub_pos_iff_lt {n : Nat} {m : Nat} : 0 < n - m ↔ m < n

theorem Nat.sub_le_iff_le_add {a : Nat} {b : Nat} {c : Nat} : a - b ≤ c ↔ a ≤ c + b

theorem Nat.sub_le_iff_le_add' {a : Nat} {b : Nat} {c : Nat} : a - b ≤ c ↔ a ≤ b + c

theorem Nat.le_sub_iff_add_le {k : Nat} {m : Nat} {n : Nat} (h : k ≤ m) : n ≤ m - k ↔ n + k ≤ m

theorem Nat.add_le_of_le_sub' {n : Nat} {k : Nat} {m : Nat} (h : m ≤ k) : n ≤ k - m → m + n ≤ k

theorem Nat.le_sub_of_add_le' {n : Nat} {k : Nat} {m : Nat} : m + n ≤ k → n ≤ k - m

theorem Nat.le_sub_iff_add_le' {k : Nat} {m : Nat} {n : Nat} (h : k ≤ m) : n ≤ m - k ↔ k + n ≤ m

theorem Nat.le_of_sub_le_sub_left {n : Nat} {k : Nat} {m : Nat} : n ≤ k → k - m ≤ k - n → n ≤ m

theorem Nat.sub_le_sub_iff_left {n : Nat} {m : Nat} {k : Nat} (h : n ≤ k) : k - m ≤ k - n ↔ n ≤ m

theorem Nat.sub_lt_of_pos_le {a : Nat} {b : Nat} (h₀ : 0 < a) (h₁ : a ≤ b) : b - a < b

@[reducible, inline]

abbrev Nat.sub_lt_self {a : Nat} {b : Nat} (h₀ : 0 < a) (h₁ : a ≤ b) : b - a < b

Equations

• @Nat.sub_lt_self = @Nat.sub_lt_of_pos_le

theorem Nat.add_lt_of_lt_sub' {a : Nat} {b : Nat} {c : Nat} : b < c - a → a + b < c

theorem Nat.sub_add_lt_sub {m : Nat} {k : Nat} {n : Nat} (h₁ : m + k ≤ n) (h₂ : 0 < k) : n - (m + k) < n - m

theorem Nat.sub_one_lt_of_le {a : Nat} {b : Nat} (h₀ : 0 < a) (h₁ : a ≤ b) : a - 1 < b

theorem Nat.sub_lt_succ (a : Nat) (b : Nat) : a - b < a.succ

theorem Nat.sub_lt_add_one (a : Nat) (b : Nat) : a - b < a + 1

theorem Nat.sub_one_sub_lt {i : Nat} {n : Nat} (h : i < n) : n - 1 - i < n

theorem Nat.exists_eq_add_of_le {m : Nat} {n : Nat} (h : m ≤ n) : ∃ (k : Nat), n = m + k

theorem Nat.exists_eq_add_of_le' {m : Nat} {n : Nat} (h : m ≤ n) : ∃ (k : Nat), n = k + m

theorem Nat.exists_eq_add_of_lt {m : Nat} {n : Nat} (h : m < n) : ∃ (k : Nat), n = m + k + 1

min/max

theorem Nat.succ_min_succ (x : Nat) (y : Nat) : min x.succ y.succ = (min x y).succ

@[simp]

theorem Nat.min_self (a : Nat) : min a a = a

instance Nat.instIdempotentOpMin : Std.IdempotentOp min

Equations

• Nat.instIdempotentOpMin = ⋯

@[simp]

theorem Nat.zero_min (a : Nat) : min 0 a = 0

@[simp]

theorem Nat.min_zero (a : Nat) : min a 0 = 0

@[simp]

theorem Nat.min_assoc (a : Nat) (b : Nat) (c : Nat) : min (min a b) c = min a (min b c)

instance Nat.instAssociativeMin : Std.Associative min

Equations

• Nat.instAssociativeMin = ⋯

@[simp]

theorem Nat.min_self_assoc {m : Nat} {n : Nat} : min m (min m n) = min m n

@[simp]

theorem Nat.min_self_assoc' {m : Nat} {n : Nat} : min n (min m n) = min n m

@[simp]

theorem Nat.min_add_left {a : Nat} {b : Nat} : min a (b + a) = a

@[simp]

theorem Nat.min_add_right {a : Nat} {b : Nat} : min a (a + b) = a

@[simp]

theorem Nat.add_left_min {a : Nat} {b : Nat} : min (b + a) a = a

@[simp]

theorem Nat.add_right_min {a : Nat} {b : Nat} : min (a + b) a = a

theorem Nat.sub_sub_eq_min (a : Nat) (b : Nat) : a - (a - b) = min a b

theorem Nat.sub_eq_sub_min (n : Nat) (m : Nat) : n - m = n - min n m

@[simp]

theorem Nat.sub_add_min_cancel (n : Nat) (m : Nat) : n - m + min n m = n

theorem Nat.max_eq_right {a : Nat} {b : Nat} (h : a ≤ b) : max a b = b

theorem Nat.max_eq_left {a : Nat} {b : Nat} (h : b ≤ a) : max a b = a

theorem Nat.succ_max_succ (x : Nat) (y : Nat) : max x.succ y.succ = (max x y).succ

theorem Nat.max_le_of_le_of_le {a : Nat} {b : Nat} {c : Nat} : a ≤ c → b ≤ c → max a b ≤ c

theorem Nat.max_le {a : Nat} {b : Nat} {c : Nat} : max a b ≤ c ↔ a ≤ c ∧ b ≤ c

theorem Nat.max_lt {a : Nat} {b : Nat} {c : Nat} : max a b < c ↔ a < c ∧ b < c

@[simp]

theorem Nat.max_self (a : Nat) : max a a = a

instance Nat.instIdempotentOpMax : Std.IdempotentOp max

Equations

• Nat.instIdempotentOpMax = ⋯

@[simp]

theorem Nat.zero_max (a : Nat) : max 0 a = a

@[simp]

theorem Nat.max_zero (a : Nat) : max a 0 = a

instance Nat.instLawfulIdentityMaxOfNat : Std.LawfulIdentity max 0

Equations

• Nat.instLawfulIdentityMaxOfNat = ⋯

theorem Nat.max_assoc (a : Nat) (b : Nat) (c : Nat) : max (max a b) c = max a (max b c)

instance Nat.instAssociativeMax : Std.Associative max

Equations

• Nat.instAssociativeMax = ⋯

@[simp]

theorem Nat.max_add_left {a : Nat} {b : Nat} : max a (b + a) = b + a

@[simp]

theorem Nat.max_add_right {a : Nat} {b : Nat} : max a (a + b) = a + b

@[simp]

theorem Nat.add_left_max {a : Nat} {b : Nat} : max (b + a) a = b + a

@[simp]

theorem Nat.add_right_max {a : Nat} {b : Nat} : max (a + b) a = a + b

theorem Nat.sub_add_eq_max (a : Nat) (b : Nat) : a - b + b = max a b

theorem Nat.sub_eq_max_sub (n : Nat) (m : Nat) : n - m = max n m - m

theorem Nat.max_min_distrib_left (a : Nat) (b : Nat) (c : Nat) : max a (min b c) = min (max a b) (max a c)

theorem Nat.min_max_distrib_left (a : Nat) (b : Nat) (c : Nat) : min a (max b c) = max (min a b) (min a c)

theorem Nat.max_min_distrib_right (a : Nat) (b : Nat) (c : Nat) : max (min a b) c = min (max a c) (max b c)

theorem Nat.min_max_distrib_right (a : Nat) (b : Nat) (c : Nat) : min (max a b) c = max (min a c) (min b c)

theorem Nat.add_max_add_right (a : Nat) (b : Nat) (c : Nat) : max (a + c) (b + c) = max a b + c

theorem Nat.add_min_add_right (a : Nat) (b : Nat) (c : Nat) : min (a + c) (b + c) = min a b + c

theorem Nat.add_max_add_left (a : Nat) (b : Nat) (c : Nat) : max (a + b) (a + c) = a + max b c

theorem Nat.add_min_add_left (a : Nat) (b : Nat) (c : Nat) : min (a + b) (a + c) = a + min b c

theorem Nat.pred_min_pred (x : Nat) (y : Nat) : min x.pred y.pred = (min x y).pred

theorem Nat.pred_max_pred (x : Nat) (y : Nat) : max x.pred y.pred = (max x y).pred

theorem Nat.sub_min_sub_right (a : Nat) (b : Nat) (c : Nat) : min (a - c) (b - c) = min a b - c

theorem Nat.sub_max_sub_right (a : Nat) (b : Nat) (c : Nat) : max (a - c) (b - c) = max a b - c

theorem Nat.sub_min_sub_left (a : Nat) (b : Nat) (c : Nat) : min (a - b) (a - c) = a - max b c

theorem Nat.sub_max_sub_left (a : Nat) (b : Nat) (c : Nat) : max (a - b) (a - c) = a - min b c

theorem Nat.mul_max_mul_right (a : Nat) (b : Nat) (c : Nat) : max (a * c) (b * c) = max a b * c

theorem Nat.mul_min_mul_right (a : Nat) (b : Nat) (c : Nat) : min (a * c) (b * c) = min a b * c

theorem Nat.mul_max_mul_left (a : Nat) (b : Nat) (c : Nat) : max (a * b) (a * c) = a * max b c

theorem Nat.mul_min_mul_left (a : Nat) (b : Nat) (c : Nat) : min (a * b) (a * c) = a * min b c

mul

theorem Nat.mul_right_comm (n : Nat) (m : Nat) (k : Nat) : n * m * k = n * k * m

theorem Nat.mul_mul_mul_comm (a : Nat) (b : Nat) (c : Nat) (d : Nat) : a * b * (c * d) = a * c * (b * d)

theorem Nat.mul_eq_zero {m : Nat} {n : Nat} : n * m = 0 ↔ n = 0 ∨ m = 0

theorem Nat.mul_ne_zero_iff {n : Nat} {m : Nat} : n * m ≠ 0 ↔ n ≠ 0 ∧ m ≠ 0

theorem Nat.mul_ne_zero {n : Nat} {m : Nat} : n ≠ 0 → m ≠ 0 → n * m ≠ 0

theorem Nat.ne_zero_of_mul_ne_zero_left {n : Nat} {m : Nat} (h : n * m ≠ 0) : n ≠ 0

theorem Nat.mul_left_cancel {n : Nat} {m : Nat} {k : Nat} (np : 0 < n) (h : n * m = n * k) : m = k

theorem Nat.mul_right_cancel {n : Nat} {m : Nat} {k : Nat} (mp : 0 < m) (h : n * m = k * m) : n = k

theorem Nat.mul_left_cancel_iff {n : Nat} (p : 0 < n) {m : Nat} {k : Nat} : n * m = n * k ↔ m = k

theorem Nat.mul_right_cancel_iff {m : Nat} (p : 0 < m) {n : Nat} {k : Nat} : n * m = k * m ↔ n = k

theorem Nat.ne_zero_of_mul_ne_zero_right {n : Nat} {m : Nat} (h : n * m ≠ 0) : m ≠ 0

theorem Nat.le_mul_of_pos_left {n : Nat} (m : Nat) (h : 0 < n) : m ≤ n * m

theorem Nat.le_mul_of_pos_right {m : Nat} (n : Nat) (h : 0 < m) : n ≤ n * m

theorem Nat.mul_lt_mul_of_lt_of_le {a : Nat} {c : Nat} {b : Nat} {d : Nat} (hac : a < c) (hbd : b ≤ d) (hd : 0 < d) : a * b < c * d

theorem Nat.mul_lt_mul_of_lt_of_le' {a : Nat} {c : Nat} {b : Nat} {d : Nat} (hac : a < c) (hbd : b ≤ d) (hb : 0 < b) : a * b < c * d

theorem Nat.mul_lt_mul_of_le_of_lt {a : Nat} {c : Nat} {b : Nat} {d : Nat} (hac : a ≤ c) (hbd : b < d) (hc : 0 < c) : a * b < c * d

theorem Nat.mul_lt_mul_of_le_of_lt' {a : Nat} {c : Nat} {b : Nat} {d : Nat} (hac : a ≤ c) (hbd : b < d) (ha : 0 < a) : a * b < c * d

theorem Nat.mul_lt_mul_of_lt_of_lt {a : Nat} {b : Nat} {c : Nat} {d : Nat} (hac : a < c) (hbd : b < d) : a * b < c * d

theorem Nat.succ_mul_succ (a : Nat) (b : Nat) : a.succ * b.succ = a * b + a + b + 1

theorem Nat.add_one_mul_add_one (a : Nat) (b : Nat) : (a + 1) * (b + 1) = a * b + a + b + 1

theorem Nat.mul_le_add_right {m : Nat} {k : Nat} {n : Nat} : k * m ≤ m + n ↔ (k - 1) * m ≤ n

theorem Nat.succ_mul_succ_eq (a : Nat) (b : Nat) : a.succ * b.succ = a * b + a + b + 1

theorem Nat.mul_self_sub_mul_self_eq (a : Nat) (b : Nat) : a * a - b * b = (a + b) * (a - b)

theorem Nat.pos_of_mul_pos_left {a : Nat} {b : Nat} (h : 0 < a * b) : 0 < b

theorem Nat.pos_of_mul_pos_right {a : Nat} {b : Nat} (h : 0 < a * b) : 0 < a

@[simp]

theorem Nat.mul_pos_iff_of_pos_left {a : Nat} {b : Nat} (h : 0 < a) : 0 < a * b ↔ 0 < b

@[simp]

theorem Nat.mul_pos_iff_of_pos_right {a : Nat} {b : Nat} (h : 0 < b) : 0 < a * b ↔ 0 < a

div/mod

theorem Nat.mod_two_eq_zero_or_one (n : Nat) : n % 2 = 0 ∨ n % 2 = 1

@[simp]

theorem Nat.mod_two_bne_zero {a : Nat} : (a % 2 != 0) = (a % 2 == 1)

@[simp]

theorem Nat.mod_two_bne_one {a : Nat} : (a % 2 != 1) = (a % 2 == 0)

theorem Nat.le_of_mod_lt {a : Nat} {b : Nat} (h : a % b < a) : b ≤ a

theorem Nat.mul_mod_mul_right (z : Nat) (x : Nat) (y : Nat) : x * z % (y * z) = x % y * z

theorem Nat.sub_mul_mod {x : Nat} {k : Nat} {n : Nat} (h₁ : n * k ≤ x) : (x - n * k) % n = x % n

@[simp]

theorem Nat.mod_mod (a : Nat) (n : Nat) : a % n % n = a % n

theorem Nat.mul_mod (a : Nat) (b : Nat) (n : Nat) : a * b % n = a % n * (b % n) % n

@[simp]

theorem Nat.mod_add_mod (m : Nat) (n : Nat) (k : Nat) : (m % n + k) % n = (m + k) % n

@[simp]

theorem Nat.add_mod_mod (m : Nat) (n : Nat) (k : Nat) : (m + n % k) % k = (m + n) % k

theorem Nat.add_mod (a : Nat) (b : Nat) (n : Nat) : (a + b) % n = (a % n + b % n) % n

@[simp]

theorem Nat.self_sub_mod (n : Nat) (k : Nat) [NeZero k] : (n - k) % n = n - k

@[simp]

theorem Nat.mod_mul_mod {a : Nat} {b : Nat} {c : Nat} : a % c * b % c = a * b % c

pow

theorem Nat.pow_succ' {m : Nat} {n : Nat} : m ^ n.succ = m * m ^ n

theorem Nat.pow_add_one' {m : Nat} {n : Nat} : m ^ (n + 1) = m * m ^ n

@[simp]

theorem Nat.pow_eq {m : Nat} {n : Nat} : m.pow n = m ^ n

theorem Nat.one_shiftLeft (n : Nat) : 1 <<< n = 2 ^ n

theorem Nat.zero_pow {n : Nat} (H : 0 < n) : 0 ^ n = 0

@[simp]

theorem Nat.one_pow (n : Nat) : 1 ^ n = 1

@[simp]

theorem Nat.pow_one (a : Nat) : a ^ 1 = a

theorem Nat.pow_two (a : Nat) : a ^ 2 = a * a

theorem Nat.pow_add (a : Nat) (m : Nat) (n : Nat) : a ^ (m + n) = a ^ m * a ^ n

theorem Nat.pow_add' (a : Nat) (m : Nat) (n : Nat) : a ^ (m + n) = a ^ n * a ^ m

theorem Nat.pow_mul (a : Nat) (m : Nat) (n : Nat) : a ^ (m * n) = (a ^ m) ^ n

theorem Nat.pow_mul' (a : Nat) (m : Nat) (n : Nat) : a ^ (m * n) = (a ^ n) ^ m

theorem Nat.pow_right_comm (a : Nat) (m : Nat) (n : Nat) : (a ^ m) ^ n = (a ^ n) ^ m

theorem Nat.mul_pow (a : Nat) (b : Nat) (n : Nat) : (a * b) ^ n = a ^ n * b ^ n

@[reducible, inline]

abbrev Nat.pow_le_pow_left {n : Nat} {m : Nat} (h : n ≤ m) (i : Nat) : n ^ i ≤ m ^ i

Equations

• @Nat.pow_le_pow_left = @Nat.pow_le_pow_of_le_left

@[reducible, inline]

abbrev Nat.pow_le_pow_right {n : Nat} (hx : n > 0) {i : Nat} {j : Nat} : i ≤ j → n ^ i ≤ n ^ j

Equations

• @Nat.pow_le_pow_right = @Nat.pow_le_pow_of_le_right

theorem Nat.one_lt_two_pow {n : Nat} (h : n ≠ 0) : 1 < 2 ^ n

@[simp]

theorem Nat.one_lt_two_pow_iff {n : Nat} : 1 < 2 ^ n ↔ n ≠ 0

theorem Nat.one_le_two_pow {n : Nat} : 1 ≤ 2 ^ n

@[simp]

theorem Nat.one_mod_two_pow_eq_one {n : Nat} : 1 % 2 ^ n = 1 ↔ 0 < n

@[simp]

theorem Nat.one_mod_two_pow {n : Nat} (h : 0 < n) : 1 % 2 ^ n = 1

theorem Nat.pow_pos {a : Nat} {n : Nat} (h : 0 < a) : 0 < a ^ n

theorem Nat.pow_lt_pow_succ {a : Nat} {n : Nat} (h : 1 < a) : a ^ n < a ^ (n + 1)

theorem Nat.pow_lt_pow_of_lt {a : Nat} {n : Nat} {m : Nat} (h : 1 < a) (w : n < m) : a ^ n < a ^ m

theorem Nat.pow_le_pow_of_le {a : Nat} {n : Nat} {m : Nat} (h : 1 < a) (w : n ≤ m) : a ^ n ≤ a ^ m

theorem Nat.pow_le_pow_iff_right {a : Nat} {n : Nat} {m : Nat} (h : 1 < a) : a ^ n ≤ a ^ m ↔ n ≤ m

theorem Nat.pow_lt_pow_iff_right {a : Nat} {n : Nat} {m : Nat} (h : 1 < a) : a ^ n < a ^ m ↔ n < m

@[simp]

theorem Nat.pow_pred_mul {x : Nat} {w : Nat} (h : 0 < w) : x ^ (w - 1) * x = x ^ w

theorem Nat.pow_pred_lt_pow {x : Nat} {w : Nat} (h₁ : 1 < x) (h₂ : 0 < w) : x ^ (w - 1) < x ^ w

theorem Nat.two_pow_pred_lt_two_pow {w : Nat} (h : 0 < w) : 2 ^ (w - 1) < 2 ^ w

@[simp]

theorem Nat.two_pow_pred_add_two_pow_pred {w : Nat} (h : 0 < w) : 2 ^ (w - 1) + 2 ^ (w - 1) = 2 ^ w

@[simp]

theorem Nat.two_pow_sub_two_pow_pred {w : Nat} (h : 0 < w) : 2 ^ w - 2 ^ (w - 1) = 2 ^ (w - 1)

@[simp]

theorem Nat.two_pow_pred_mod_two_pow {w : Nat} (h : 0 < w) : 2 ^ (w - 1) % 2 ^ w = 2 ^ (w - 1)

theorem Nat.pow_lt_pow_iff_pow_mul_le_pow {a : Nat} {n : Nat} {m : Nat} (h : 1 < a) : a ^ n < a ^ m ↔ a ^ n * a ≤ a ^ m

@[simp]

theorem Nat.two_pow_pred_mul_two {w : Nat} (h : 0 < w) : 2 ^ (w - 1) * 2 = 2 ^ w

log2

@[simp]

theorem Nat.log2_zero : Nat.log2 0 = 0

theorem Nat.le_log2 {n : Nat} {k : Nat} (h : n ≠ 0) : k ≤ n.log2 ↔ 2 ^ k ≤ n

theorem Nat.log2_lt {n : Nat} {k : Nat} (h : n ≠ 0) : n.log2 < k ↔ n < 2 ^ k

@[simp]

theorem Nat.log2_two_pow {n : Nat} : (2 ^ n).log2 = n

theorem Nat.log2_self_le {n : Nat} (h : n ≠ 0) : 2 ^ n.log2 ≤ n

theorem Nat.lt_log2_self {n : Nat} : n < 2 ^ (n.log2 + 1)

dvd

theorem Nat.eq_mul_of_div_eq_right {a : Nat} {b : Nat} {c : Nat} (H1 : b ∣ a) (H2 : a / b = c) : a = b * c

theorem Nat.div_eq_iff_eq_mul_right {a : Nat} {b : Nat} {c : Nat} (H : 0 < b) (H' : b ∣ a) : a / b = c ↔ a = b * c

theorem Nat.div_eq_iff_eq_mul_left {a : Nat} {b : Nat} {c : Nat} (H : 0 < b) (H' : b ∣ a) : a / b = c ↔ a = c * b

theorem Nat.pow_dvd_pow_iff_pow_le_pow {k : Nat} {l : Nat} {x : Nat} : 0 < x → (x ^ k ∣ x ^ l ↔ x ^ k ≤ x ^ l)

theorem Nat.pow_dvd_pow_iff_le_right {x : Nat} {k : Nat} {l : Nat} (w : 1 < x) : x ^ k ∣ x ^ l ↔ k ≤ l

If 1 < x, then x^k divides x^l if and only if k is at most l.

theorem Nat.pow_dvd_pow_iff_le_right' {b : Nat} {k : Nat} {l : Nat} : (b + 2) ^ k ∣ (b + 2) ^ l ↔ k ≤ l

theorem Nat.pow_dvd_pow {m : Nat} {n : Nat} (a : Nat) (h : m ≤ n) : a ^ m ∣ a ^ n

theorem Nat.pow_sub_mul_pow (a : Nat) {m : Nat} {n : Nat} (h : m ≤ n) : a ^ (n - m) * a ^ m = a ^ n

theorem Nat.pow_dvd_of_le_of_pow_dvd {p : Nat} {m : Nat} {n : Nat} {k : Nat} (hmn : m ≤ n) (hdiv : p ^ n ∣ k) : p ^ m ∣ k

theorem Nat.dvd_of_pow_dvd {p : Nat} {k : Nat} {m : Nat} (hk : 1 ≤ k) (hpk : p ^ k ∣ m) : p ∣ m

theorem Nat.pow_div {x : Nat} {m : Nat} {n : Nat} (h : n ≤ m) (hx : 0 < x) : x ^ m / x ^ n = x ^ (m - n)

shiftLeft and shiftRight

@[simp]

theorem Nat.shiftLeft_zero {n : Nat} : n <<< 0 = n

theorem Nat.shiftLeft_succ_inside (m : Nat) (n : Nat) : m <<< (n + 1) = (2 * m) <<< n

Shiftleft on successor with multiple moved inside.

theorem Nat.shiftLeft_succ (m : Nat) (n : Nat) : m <<< (n + 1) = 2 * m <<< n

Shiftleft on successor with multiple moved to outside.

theorem Nat.shiftRight_succ_inside (m : Nat) (n : Nat) : m >>> (n + 1) = (m / 2) >>> n

Shiftright on successor with division moved inside.

@[simp]

theorem Nat.zero_shiftLeft (n : Nat) : 0 <<< n = 0

@[simp]

theorem Nat.zero_shiftRight (n : Nat) : 0 >>> n = 0

theorem Nat.shiftLeft_add (m : Nat) (n : Nat) (k : Nat) : m <<< (n + k) = m <<< n <<< k

@[deprecated Nat.shiftLeft_add]

theorem Nat.shiftLeft_shiftLeft (m : Nat) (n : Nat) (k : Nat) : m <<< n <<< k = m <<< (n + k)

@[simp]

theorem Nat.shiftLeft_shiftRight (x : Nat) (n : Nat) : x <<< n >>> n = x

theorem Nat.mul_add_div {m : Nat} (m_pos : m > 0) (x : Nat) (y : Nat) : (m * x + y) / m = x + y / m

theorem Nat.mul_add_mod (m : Nat) (x : Nat) (y : Nat) : (m * x + y) % m = y % m

@[simp]

theorem Nat.mod_div_self (m : Nat) (n : Nat) : m % n / n = 0

Decidability of predicates

instance Nat.decidableBallLT (n : Nat) (P : (k : Nat) → k < n → Prop) [(n_1 : Nat) → (h : n_1 < n) → Decidable (P n_1 h)] : Decidable (∀ (n_1 : Nat) (h : n_1 < n), P n_1 h)

Equations

• One or more equations did not get rendered due to their size.
• Nat.decidableBallLT 0 x_3 = isTrue ⋯

instance Nat.decidableForallFin {n : Nat} (P : Fin n → Prop) [DecidablePred P] : Decidable (∀ (i : Fin n), P i)

Equations

• Nat.decidableForallFin P = decidable_of_iff (∀ (k : Nat) (h : k < n), P ⟨k, h⟩) ⋯

instance Nat.decidableBallLE (n : Nat) (P : (k : Nat) → k ≤ n → Prop) [(n_1 : Nat) → (h : n_1 ≤ n) → Decidable (P n_1 h)] : Decidable (∀ (n_1 : Nat) (h : n_1 ≤ n), P n_1 h)

Equations

• n.decidableBallLE P = decidable_of_iff (∀ (k : Nat) (h : k < n.succ), P k ⋯) ⋯

instance Nat.decidableExistsLT {p : Nat → Prop} [h : DecidablePred p] : DecidablePred fun (n : Nat) => ∃ (m : Nat), m < n ∧ p m

Equations

• Nat.decidableExistsLT 0 = isFalse ⋯
• n.succ.decidableExistsLT = decidable_of_decidable_of_iff ⋯

instance Nat.decidableExistsLE {p : Nat → Prop} [DecidablePred p] : DecidablePred fun (n : Nat) => ∃ (m : Nat), m ≤ n ∧ p m

Equations

• n.decidableExistsLE = decidable_of_iff (∃ (m : Nat), m < n + 1 ∧ p m) ⋯